Cuenta una leyenda árabe que Abdel Salam y Al-Mustafá, dos comerciantes persas, regresaban de un viaje de negocios realizados en tierras lejanas a su aldea de residencia, en compañía de otros comerciantes. Las personalidades de ambos personajes eran muy diferentes: Salam le gustaba presumir de su riqueza y era avaricioso, mientras que Mustafá era más callado y analítico, pendiente de la escucha.
Todas las noches durante el período de regreso, se sentaban los grupos de comerciantes alrededor de una fogata para compartir anécdotas, pero Salam, no hacía otra cosa más que presumir su riqueza aludiendo al hecho de que no había comerciante alguno que tuviese su riqueza, mientras que Mustafá se mantenía callado. Durante la última noche previo a su llegada a Persia, Mustafá tomó la palabra y dijo: soy tan rico que estoy en capacidad de regalar parte de mi fortuna a quien desee, sin que eso afecte mis finanzas, podría inclusive regalarle ese dinero al más rico de Persia (incluyendo a Salam) y aún así, este nunca me podría igualar.
Salam empezó a enfadarse de envidia, pero, seguía escuchando. Continuó Mustafá diciendo: para celebrar mi llegada a Persia, he decidido obsequiar durante un mes, la suma de $100 000 por día hasta llegar al día 31.
Salam, con su buen olfato para los negocios, no negó en ofrecerse como voluntario para albergar dicha fortuna, ofreciendo su incondicional amistad de por vida a Mustafá y que además, estaría dispuesto a cumplir cualquier favor. Entonces, Mustafá le dijo: acepto tu ofrecimiento, pero a cambio te pido lo siguiente, el primer día cuando vengas por los $100 000, deberás pagarme un centavo, el segundo día te llevarás otros $100 000 y me pagarás 2 centavos, similarmente al tercer día me pagarás 4 centavos, y así sucesivamente hasta llegar al trigésimo primer día. Salam le extrañó la petición de Mustafá, pero, al ver la ridícula cantidad que tenía que pagar en comparación con lo recibido, aceptó el trato.
Esa noche Salam no pudo conciliar el sueño, pensando en la cantidad de dinero que estaría recibiendo durante los siguientes 31 días.
Problema:
**Donde Kn se refiere a la sucesión de # de días.
Problema:
-Para resolver este problema, deberán construir dos modelos diferentes: uno que muestre el ingreso que percibe Salán y otro que percibe Mustafá. Se recomienda hacerlo mediante un análisis comparativo donde podamos ver la evolución de ambos casos en el transcurso de las semanas, por ejemplo, mediante una tabla.
-Al final, debemos responder: ¿quién ganó más dinero: Salam o Mustafá?. Tome en cuenta que el modelo de ingresos que describe la situación de Salam es de tipo lineal, mientras que el de Mustafá parece ser exponencial. Este segundo modelo exponencial, debe ser descrito mediante una fórmula recursiva, la cual deberá terminar resumida en una fórmula explícita.
¿Cuánto dinero recibió Salam?
DÍAS | Ingresos de Abdel Salam |
D1 | $100000 |
D2 | $100000 |
D3 | $100000 |
D4 | $100000 |
D5 | $100000 |
Dn | n*100000 (Fórmula explícita) |
Total de ingresos recibidos | $3100000 |
**Donde Dn se refiere a la sucesión de # de días.
La información se interpreta de la siguiente manera:
La fórmula para los ingresos que recibió Salam es la siguiente: Dn=n*100000, y con ello se obtiene que para el día 31 con D31=31*100000 el ingreso total de Salam es $3100000.
Pero...¿Cuánto ingresos percibió Mustafá?
Sabiendo que el primer día Mustafá recibiría 1 centavo, el segundo día 2 centavos, el tercer día 4 y así sucesivamente hasta el día trigésimo primero, se pudo obtener la fórmula de recurrencia, con la cual más tarde se puede obtener la fórmula explícita. *Se parte desde el primer día por lo cual al primer día no se le aplica la fórmula.
DÍAS | Ingresos de Al-Mustafá(en centavos de dólar) |
K1 | 1 |
K2 | 2 |
K3 | 4 |
K4 | 8 |
K5 | 16 |
Kn | 2* Kn-1 (Fórmula recursiva) |
**Donde Kn se refiere a la sucesión de # de días.
Obtenida la fórmula de recurrencia, es posible encontrar su fórmula explícita de la siguiente manera:
DÍAS | Cálculo | Resultado |
K1 | 21-1=20 | 1 |
K2 | 22-1=21 | 2 |
K3 | 23-1=22 | 4 |
K4 | 24-1=23 | 8 |
K5 | 25-1=24 | 16 |
Kn | 2n-1 (Fórmula explícita) |
**Donde Kn se refiere a la sucesión de # de días.
Obteniendo esto, es posible entonces obtener lo que ganó Mustafá con:
K31=230
K31= 1073741824 centavos
Como se sabe que $1=100 centavos, entonces:
1073741824 centavos / 100 centavos= $10737418.24, este fue el dinero que ganó Mustafá.
¿Quién ganó más dinero: Salam o Mustafá?
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Por supuesto, que el que ganó más dinero fue Mustafá porque:
$10737418.24 de Mustafá es mayor a $ 3100000 de Salam.
Así aprendemos como a veces las matemáticas nos pueden ayudar o jugar una mala pasada.
